问题：

如何通过观察学生的做题记录（Y）来估计学生隐知识点的掌握程度(X)。

Route 1:Hidden Markov Model

Definition

Y_it 。 i是学生id，t是做题时间。Y_it为观测到的0/1做题结果

X_is。i是学生id，s是推测时间，X_is为推测的0/1事件。事件1为学生掌握了该知识点。

* s和t可能不是同步的。即可能出现在某个时刻我们没有观察到Y，依然想查询X的状态。e.g.，周一和周五做了题，问周四学生的掌握状态。

我们希望估计的最终参数是P(X_is)，即学生i在时间s点上掌握该知识点的概率。推测时间和做题时间并不重合。

P(Y_it = 1|X_is=0)为猜测参数，即学生未掌握该知识点但是猜对的概率。

P(Y_it = 0|X_is=1)为失误参数，即学生已掌握该知识点但是做错的概率。

Data Generating Process

【A】Output Probability

P(Y_it = 1) =

P(Y_it = 1|X_is=1)P(X_is=1) +

P(Y_it = 1|X_is=0)P(X_is=0)

 

P(Y_it = 0) =

P(Y_it = 0|X_is=1)P(X_is=1) +

P(Y_it = 0|X_is=0)P(X_is=0)

【B】State Transition

我们进一步假设隐状态的演化符合martingale process（艾宾浩斯曲线可以认为是一种特例）

P(X_is|X_is-1,X_is-2,X_i1) = f(X_is)

 

Route 2:Hierarchical Bayesian Clustering

Thanks to 边士珈

优点：更加接近于前端业务需求

缺点：缺乏动态过程

Definition

Y_it 。 i是学生id，t是做题时间。Y_it为观测到的0/1做题结果

G_is。i是学生id，s是推测时间。G是学生所属的组别（例如学渣-学中-学霸）

L_it。i是学生id，t是做题时间。L_it为观察到的做题时长

 

Data Generating Process

假设学生是从所属组别中生成的，不同组别有不同的P(Y,L|G)。

现在的问题是反推P(G|Y,L)的后验概率。